В чем разница между hang on и hold on?
По смыслу это идентичные глаголы и их применение зависит от ситуации.
Обе фразы практически взаимозаменяемы, и означают «Подожди-ка!».
Разница если и есть, то очень тонкая:‘hang on!’ ощущается как неформальный тон, иногда, в зависимости от интонации, даже развязный. в то время как фраза ‘hold on’ безопасна в любом контексте.
Hang on! I need to taste this. (Минуточку! Это надо попробовать.)
Wait, hold on a second! (Постой, погоди секунду!)
Hold on a minute, I’ll be right back! (Минутку! Сейчас вернусь!)
But hold on! This map is 700 years old. (Но подождите! Этой карте 700 лет!)

А если менее формально, получается вот что:
You know what, sweetie, hang on! (Знаешь, милая, подожди-ка! Не так быстро!)
Listen, hang on one second… (Послушай, вот что я хотел сказать …)

Конечно, «hold» имеет и прямое значение — «останавливать, удерживать»:
Hold it right there, speedy! (А ну стоять, шустрик!)
Причём это значение работает как в прямом, так и в переносном смысле:
You hold on tight and don’t you let go for anything. (Держись как можно крепче и не вздумай сорваться.)
You just try to hold on to what matters. (И ты начинаешь держаться за то, что действительно для тебя важно.)

Разница с «hang on» может проявляться в телефонном разговоре. Когда собеседник говорит «Hold on», это может означать «сейчас я переведу вас в режим ожидания»:
«Hold on! I’ll just see if he’s free,» the secretary said and put me on hold. (“Минутку! Я посмотрю, свободен ли он”,— сказала секретарша и включила музыку.)
Just hold on a second, please. (Секундочку, не вешайте трубку.)

https://puzzle-english.com